2024 年,吉林、黑龙江、安徽、江西、广西、贵州、甘肃等第四批高考综合改革省份将首考落地,为实现平稳过渡,相关省份在1 月19 日、20 日组织了适应性演练。数学科适应性测试题由教育部教育考试院命制。适应性测试卷公布后,网上又出现了大量吐槽,还有危言耸听的“高考数学大变天了”。认真看了老师们的说法,说句不中听的话,许多老师并不懂得如何研究高考题,大家的关注点是多少道题目、各板块题目位置的变化、题目赋分的变化、考所有板块还是选考几个(解答题只考了导数、统计概率、立体、解析几何、新定义)、题目的解法有多少种,更令人哭笑不得的是还有“立体图形怎么这么斜?”的疑问。特别是对最后这道题目:
老师们都说这道题目“超纲了”,这是不是要让学生去学奥数?至少要学数论的相关知识,有“专家”还真的介绍了这道题的“背景知识”,如“整除性”、“同余及其基本性质”、“完全剩余系和既约剩余系”、“费马小定理”、“离散对数”等等。显然,这些讨论有表面化的嫌疑,其中还有许多牢骚。发牢骚不能解决问题,对广大教师把握高考数学命题改革大方向没什么益处。
那么,我们该如何客观、正确地分析这份卷子呢?如何从中得到一些高考复习的启示?这里我想谈一点不成熟的想法。不当之处敬请批评。
首先,这份卷子减少了题目数量,这一改革方向非常正确,应该给予充分肯定。我认为题目还可以再少些,我当年参加高考时,数学试卷就是10道题左右。试题数量适当(当然,多少题才“适当”需要研究,但现在题目太多是肯定的),好处就是可以加强对数学思维过程的考查,这是符合数学学科特点的,也反映了数学课程的育人功能。
实际上,数学高考试卷搞到20多道题,有点受美国“标准化考试”的影响,试图通过选择题、填空题等等增加所谓的覆盖面并提高公平性,愿望是好的,但效果不理想,而且是导致高中数学教学搞题型、套路和机械刷题,通过“刺激-反应”训练以提高解题速度等等的根源。因为题目数量多,如果速度上不来就做不完,所以应对的办法就是通过刷题训练提高反应速度,达到“一看就会,一做就对”的程度,这显然与数学的本质属性相违背。
其次,落实“遵循教育规律,注重考查对基础知识、基本技能、基本方法的深刻理解,引导学生要知其然,更知其所以然,学有所思、思有所疑、疑有所问、问有所悟,引导教学把精力放在讲透课程重点内容上。强调在深刻理解基础上的融会贯通、灵活运用,不考死记硬背、不出偏题怪题,平和中有新意,灵活中见潜力,实践中出真知,引导中学把教学重点从总结解题技巧转向培养学生学科核心素养”的高考命题改革精神。
我们很容易发现,这套试题的大部分都是常规题,其中1,2,3,4,10,12,15 题(共44 分)是简单题,就是考查基本概念和基本运算;5,6,7,9,11,13,16,17 题(共62 分)是中档题,重点考查常规计算和推理。这些题目加起来有106 分之多,它们与教材中的题目并无二致,考查的就是“基础知识,基本技能,基本方法”,如果学生熟悉教材,那么完成这些题目的解答是比较容易的。在与老师的交流中我经常问,“你们学校数学高考均分是多少?”绝大部分的回答都是80 分以内。对此,我提出的建议是:
让学生把教材从头到尾仔细读几遍,把概念理解清楚,教材中的定理、公式等都要会推导,教材中的题目大部分要过关,那么均分90 分以上(也就是个及格)绝对没问题。上新课时不要赶进度,认真仔细地把教材搞懂,在夯实基础上下功夫,也不必用什么教辅资料(如果要给尖子生加码,老师可以每天给他们出一两道综合性的、灵活性较大的题目,让他们自己去钻研就可以了);在高考备考阶段,可以按照函数、几何与代数、概率与统计对教材进行整合,引导学生在知识的变式表达、联系与综合上下功夫,教材上的一些典型题目要让学生反复琢磨,并进行适当拓展;另外,还要适当安排数学建模活动、数学探究活动。
我认为,这套测试卷已经说得再明确不过了:教学如果再不重视教材、重视概念,不在夯实基础知识上下功夫,不给学生留出充分的独立思考、自主学习的时间和空间,而是用大量刷题把所有时间占满,那么结局必然是高考败北。
第三,落实高考命题改革“注重学用结合,创设真实情境,紧密结合国家经济社会发展、科学技术进步、生产生活实际等创设情境,充分考虑学生学习和生活实际,把课本知识与‘具体真实的世界’联系起来,考查学生灵活运用所学知识方法分析和解决实际问题的能力,引导学生在解决实际问题的过程中建构知识、培养能力、提升素养”的要求,第19 题就是代表。这个题目的背景是盖莫尔(EIGamal)加密体制,这是一种国际公认的较理想公钥密码体制,是网络上进行保密通信和数字签名的较有效的安全算法,在网络安全加密技术中有广泛应用。我想,这个背景我们都不熟悉,相信大家也都明白它不是要考查数论、密码学等方面的知识。这个题目考查的是学生的数学思维方式,包括对研究对象定义的理解,基于定义的逻辑推理、数学运算,当然还有阅读理解、数学表达等等。我估计,在阅读这个题目时,数学符号将会是很大的拦路虎,而符号化正是数学文本的独特之处。所以,教学中加强教材的阅读理解,引导学生读一点数学书,加强实际问题转化为数学问题的训练(包括符号化表达的训练),对提升学生的应试水平是非常重要的。同时,为了落实中国高考评价体系中“四翼”的考查要求,考查学科知识的综合应用能力,测试卷在创设情境时,加强了数学知识的内在联系与综合。例如,第 8 道题:
融合了双曲线定义、向量数量积、余弦定理、平行四边形性质等,充分体现了解析几何“先用几何眼光观察,再用代数方法解决”的学科思想。只要基本概念清楚,常用知识牢固,这个题目就可以非常简洁地给出解答(网上有的解答有点绕弯子)。
第四,落实高考命题改革突出思维品质考查的要求,“通过材料信息的丰富性、试题要素的灵活性、解题路径的多样性等增强试题的开放性,强调思维过程和思维方式,鼓励学生多角度主动思考、深入探究,发现新问题、找到新规律,引导学生在学习和备考中减少死记硬背和机械刷题。”例如,第 18 题:
解答第(1)问时,利用抛物线的对称性就可以直接得出定点一定在 x 轴上,据此可以为解题提供明确的思路。看网上的一些解答,圆锥曲线基本性质在解题中并没有充分发挥作用,我觉得这也是导致解析几何复杂运算的根源之一。对于第(2)问,如果按“套路”解题,求出 A,B,D,E 的坐标,推出直线 AE,BD 的方程,求出交点 G 的坐标,再写出△GMN 面积并求其最小值,这个容易想到但计算量很大。但如果能分析一下图形的结构,发现△GMN与四边形 ADMN 的面积相等,那么就可以通过四边形 ADMN 的面积而轻松地求出△GMN 面积的最小值。我曾经在一篇“编后语”中强调,解析几何中的运算是“带有几何特征的运算”,如果只知道“死算”,不注意利用图形要素、相关要素的基本关系以及图形之间的相互关系(例如本题中的对称、垂直等),那么解析几何的运算难点是很难突破的。其实,这个命题思路也不新鲜。在人教A 版推导点到直线的距离时就有这样的“思考”问题:
对于解析几何的复习备考,我曾经在很多场合提醒,大家一定要注意解析几何的学科特点,它的研究对象是几何图形,研究工具是直角坐标系,采用数形结合思想,通过代数方法解决问题。所以,解题时必须先分析清楚问题中几何图形的要素、要素间的基本关系,然后再建立方程解决问题,这样才能有效避免复杂运算。所以,平面几何知识,尤其是三角形知识,是非常重要的。正因为如此,人教A 版教材中专门设计了数学探究活动“用向量方法研究三角形的性质”,其目的就是为了让学生系统梳理三角形知识,完善三角形知识结构,从而为三角函数、解三角形、立体几何、解析几何等板块中的问题解决奠定基础。可惜太多老师不了解教材的这个意图,教学中不负责任地放弃了这个内容。限于篇幅,不再讨论下去了。
最后还是想对第 19 题表达一个观点:它本来就不是为大多数学生命制的,而是为了拔尖人才选拔的需要,更何况这只是一次“适应性演练”,所以我们也不必太在意,对压轴大题应平常心待之。进一步地,如果高考命题只追求均值而不顾方差,优秀学生不能脱颖而出,那么我国基础科学研究人才培养就会受到极大阻碍,建设创新型国家的目标也就很难实现。另外,这类题目的解答其实并不是靠老师教会的,因为它考查的不是具体知识,而是数学的思维方式。我认为,老师应树立这样的观念:
课堂上应该以解决基础题、中档题为主,“压轴题”是给那些数理尖子生做的,应通过差异化教学,作个别辅导来解决;进一步地,高分是学生自己有这个水平,并不是教出来的。
这样,有些老师提出的疑惑,如:一线教师是否能用数论的知识(同余的概念及费马小定理)讲解这一问题?今后数论的知识是否会进入高中数学课堂?等等,是完全没有必要的。其实,你就根本不需要讲解这个题目。
全国数学教育名家章建跃简介
章建跃,博士,中国教育学会中学数学教学专业委员会理事长、学术委员会主任,人民教育出版社编审,课程教材研究所研究员,《中国数学教育》杂志主编。曾任人民教育出版社中学数学室主任、资深编辑。主持人教版初中数学、高中数学课标教材(A版)的研究、编写与实验工作,担任《普通高中课程标准实验教科书·数学》(A 版)主编。
来源:邹生书数学
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